Los matemáticos acaban de resolver un problema de 125 años, uniendo tres teorías de la física

 Un avance en el sexto problema de Hilbert es un paso importante para fundamentar la física en las matemáticas.

El Sexto Problema de Hilbert

Cuando el matemático más grande del mundo revela una visión para el próximo siglo de investigación, el mundo matemático toma nota. Eso fue exactamente lo que ocurrió en 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos de la Sorbonne University en París. El legendario matemático David Hilbert presentó 10 problemas sin resolver como ambiciosos hitos para el siglo XX. Posteriormente, amplió su lista a 23 problemas, y su influencia en el pensamiento matemático durante los últimos 125 años es innegable.

El sexto problema de Hilbert fue uno de los más ambiciosos. Exigía "axiomatizar" la física, o determinar el mínimo indispensable de supuestos matemáticos que sustentaban todas sus teorías. En un sentido amplio, no está claro que los físicos matemáticos pudieran saber alguna vez si habían resuelto este desafío. Sin embargo, Hilbert mencionó algunos subobjetivos específicos, y desde entonces los investigadores han refinado su visión en pasos concretos hacia su solución.

En marzo, los matemáticos Yu Deng, de la Universidad de Chicago, y Zaher Hani y Xiao Ma, de la Universidad de Michigan, publicaron un nuevo artículo en el servidor de arXiv.org que afirma haber logrado uno de estos objetivos. Si su trabajo supera el escrutinio, marcará un gran paso hacia la fundamentación de la física en las matemáticas y podría abrir la puerta a avances similares en otras áreas de la física.

En el artículo, los investigadores sugieren haber descubierto cómo unificar tres teorías físicas que explican el movimiento de fluidos. Estas teorías rigen diversas aplicaciones de ingeniería, desde el diseño aeronáutico hasta la predicción meteorológica; sin embargo, hasta ahora, se basaban en suposiciones que no se habían demostrado rigurosamente. Este avance no cambiará las teorías en sí, pero las justifica matemáticamente y refuerza nuestra confianza en que las ecuaciones funcionan como creemos.

Cada teoría difiere en el grado de enfoque que aplica a un líquido o gas en movimiento. A nivel microscópico, los fluidos están compuestos de partículas (pequeñas bolas de billar que se mueven y ocasionalmente colisionan), y las leyes del movimiento de Newton son eficaces para describir sus trayectorias.

Pero cuando se amplía para considerar el comportamiento colectivo de un gran número de partículas, el llamado nivel mesoscópico, ya no es conveniente modelar cada una individualmente. En 1872, el físico teórico austriaco Ludwig Boltzmann abordó esto cuando desarrolló lo que se conoció como la ecuación de Boltzmann. En lugar de rastrear el comportamiento de cada partícula, la ecuación considera el comportamiento probable de una partícula típica. Esta perspectiva estadística suaviza los detalles de bajo nivel en favor de las tendencias de alto nivel. La ecuación permite a los físicos calcular cómo evolucionan cantidades como el momento y la conductividad térmica en el fluido sin considerar minuciosamente cada colisión microscópica.

Al ampliar la perspectiva, nos encontramos en el mundo macroscópico. Aquí consideramos los fluidos no como un conjunto de partículas discretas, sino como una única sustancia continua. En este nivel de análisis, un conjunto diferente de ecuaciones —las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes— describe con precisión cómo se mueven los fluidos y cómo se interrelacionan sus propiedades físicas sin recurrir en absoluto a las partículas.

Los tres niveles de análisis describen la misma realidad subyacente: cómo fluyen los fluidos. En principio, cada teoría debería basarse en la teoría que le corresponde por debajo en la jerarquía: las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes a nivel macroscópico deberían derivarse lógicamente de la ecuación de Boltzmann a nivel mesoscópico, que a su vez debería derivarse lógicamente de las leyes del movimiento de Newton a nivel microscópico. Este es el tipo de "axiomatización" que Hilbert propuso en su sexto problema, y ​​en su descripción del problema hizo referencia explícita al trabajo de Boltzmann sobre los gases. Esperamos que las teorías completas de la física sigan reglas matemáticas que expliquen el fenómeno desde el nivel microscópico hasta el macroscópico. Si los científicos no logran superar esta brecha, podría indicar un malentendido en nuestras teorías existentes.

Unificar las tres perspectivas sobre la dinámica de fluidos ha supuesto un reto persistente para el campo, pero Deng, Hani y Ma podrían haberlo logrado. Su logro se basa en décadas de progreso progresivo. Sin embargo, todos los avances previos venían con algún tipo de asterisco; por ejemplo, las derivaciones implicadas solo funcionaban en escalas de tiempo cortas, en el vacío o en otras condiciones simplificadoras.

La nueva prueba consta básicamente de tres pasos: derivar la teoría macroscópica a partir de la mesoscópica; derivar la teoría mesoscópica a partir de la microscópica; y luego unirlas en una única derivación de las leyes macroscópicas a partir de las microscópicas.

El primer paso ya se entendía, e incluso el propio Hilbert contribuyó a él. Por otro lado, derivar lo mesoscópico de lo microscópico ha sido mucho más desafiante matemáticamente. Recordemos que el contexto mesoscópico se refiere al comportamiento colectivo de un gran número de partículas. Así pues, Deng, Hani y Ma analizaron qué sucede con las ecuaciones de Newton a medida que el número de partículas individuales que colisionan y rebotan aumenta hasta el infinito y su tamaño se reduce a cero. Demostraron que, al llevar las ecuaciones de Newton a estos extremos, el comportamiento estadístico del sistema (o el comportamiento probable de una partícula "típica" en el fluido) converge a la solución de la ecuación de Boltzmann. Este paso crea un puente al derivar las matemáticas mesoscópicas del comportamiento extremo de las matemáticas microscópicas.

El principal obstáculo en este paso fue el tiempo que las ecuaciones estaban modelando. Ya se sabía cómo derivar la ecuación de Boltzmann a partir de las leyes de Newton en escalas de tiempo muy cortas, pero esto no es suficiente para el programa de Hilbert, ya que los fluidos del mundo real pueden fluir durante cualquier período de tiempo. A mayor escala de tiempo, mayor complejidad: se producen más colisiones, y el historial completo de interacciones de una partícula podría influir en su comportamiento actual. Los autores superaron esto considerando cuidadosamente cuánto afecta el historial de una partícula a su presente y utilizando nuevas técnicas matemáticas para argumentar que los efectos acumulativos de las colisiones previas siguen siendo pequeños.

Al combinar su avance a largo plazo con trabajos previos sobre la derivación de las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes a partir de la ecuación de Boltzmann, se unifican tres teorías de la dinámica de fluidos. El hallazgo justifica la adopción de diferentes perspectivas sobre los fluidos según la que resulte más útil en el contexto, ya que matemáticamente convergen en una teoría definitiva que describe una realidad. Suponiendo que la demostración sea correcta, abre nuevos caminos en el programa de Hilbert. Solo cabe esperar que con estos nuevos enfoques, se derrumben los desafíos de Hilbert y se amplíe la física.

Articulo de  Scientific American original aquí.